“El álgebra no solo permea todas las matemáticas, sino que invade el dominio de la lógica formal e incluso la metafísica” (Tobias Dantzig)
“El álgebra es la metafísica de la aritmética” (John Ray)
“El álgebra es aritmética universal” (Newton)
Álgebra Abstracta
El álgebra elemental se refiere a la estructura matemática que forman los números reales y complejos.
El álgebra abstracta −también denominada “álgebra moderna”− es una generalización del álgebra elemental y se refiere a estructuras matemáticas definidas con operaciones internas sobre un conjunto, tales como: grupo, semigrupo, anillo, cuerpo (o campo), semigrupo, monoide, módulo, álgebra vectorial, retículo (lattice), álgebra de Boole, álgebra asociativa, álgebra conmutativa, álgebra de Lie, etc.
El álgebra abstracta se diferencia del álgebra elemental en que ésta opera con números concretos, y el álgebra abstracta opera con variables que pueden representar cualquier objeto: números, matrices, permutaciones, polinomios, transformaciones geométricas, etc.
El álgebra abstracta es una elevación de lo literal (lo numérico) a lo simbólico, un paso hacia un mayor nivel de abstracción. El álgebra abstracta esta ligada a las variables y a las operaciones con ellas, sin considerar lo que representan. Históricamente está ligada a las ecuaciones y a su resolución. Del álgebra nacieron los números negativos y los números complejos al tratar de resolver respectivamente las ecuaciones n+x = 0 y x2 = −1. Hay una cierta relación entre estas dos expresiones, pues históricamente, los números negativos se consideraron imaginarios.
Así como de los números derivó la aritmética, la utilización de variables para representar cantidades desconocidas permitió el nacimiento del álgebra abstracta, que permitía operar con variables (p.e. x+x producía como resultado 2*x). El lenguaje del álgebra ha sido un elemento unificador en diferentes campos: geometría (álgebra geométrica), lógica (álgebra de Boole o álgebra lógica), cálculo, álgebra vectorial, matricial, etc.
El álgebra simbólica fue creada por François Viète (1540-1603), al utilizar símbolos para las cantidades desconocidas.
El desarrollo del álgebra abstracta fue motivado por la necesidad de precisar de manera formal las definiciones matemáticas. Hoy día, el álgebra abstracta se utiliza prácticamente en todas las áreas de la matemática.
En un álgebra abstracta se definen una o más operaciones internas sobre un conjunto C. Las operaciones internas operan con elementos de C y dan como resultado un elemento de C, es decir, son funciones de la forma Cn → C:
Operaciones 0-arias (nularias). Son constantes.
Operaciones 1-arias (unarias). Son funciones de C en C.
Operaciones 2-arias (binarias). Son funciones de 2 elementos de C en C.
Operaciones n-arias. Son funciones de n elementos de C en C.
Operaciones infinitarias. Son funciones de infinitos elementos de C en C.
Ejemplos de estructuras algebraicas de una sola operación son los grupos, cuasigrupos, semigrupos y los monoides. Sistemas algebraicas con dos o más operaciones internas son: anillo, cuerpo, espacio vectorial, retículo (lattice), álgebra de Boole y álgebra de Lie. Un ejemplo de estructura algebraica infinitaria es un retículo completo de infinitos elementos.
En general, se suele hablar de una estructura algebraica de tipo Ω, en donde Ω es una secuencia de números naturales que representan las “aridades” de las operaciones internas definidas sobre un conjunto. Por ejemplo, si Ω=(2, 2, 3), se han definido dos operaciones 2-arias y una operación 3-aria.
Ejemplos
Grupo.
La definición de grupo en álgebra abstracta es la siguiente:
Hay un conjunto G.
Hay una operación interna binaria (simbolizada por “*”) definida sobre G, es decir, para todo par de elementos, x e y de G, x*y es un elemento de G: x*y∈G.
Existe un elemento e (llamado neutro) tal que x*e = e*x = x para todo elemento x de G.
Para todo elemento x de G, existe otro elemento x' (llamado “inverso de x”) tal que x*x' = x'*x = e.
Los elementos de G cumplen la propiedad asociativa: x*(y*z) = (x*y)*z.
Si la operación cumple la propiedad conmutativa (x*y) = (y*x), el grupo se denomina “abeliano”.
Ejemplos de grupos son los números naturales bajo la operación de suma, y los números reales (excepto el cero) bajo la operación producto.
Monoide.
Un monoide es una estructura algebraica con una operación binaria simbolizada por “*”) que cumple las propiedades:
Un ejemplo de monoide son las matrices bajo la operación de multiplicación.
Retículo (lattice).
El concepto de retículo tiene su origen en la formalización de la lógica proposicional. Un retículo es un álgebra con dos operaciones binarias duales (∧ y ∨) que satisfacen las leyes siguientes:
Idempotencia: x∧x = x∨x = x
Conmutativa: x∧y = y∧xx∨y = y∨x
Asociativa: (x∧y)∧z = x∧(y∧z) (x∨y)∨z = x∨(y∨z)
Absorción: x∧(x∨y) = x∨(x∧y) = x
Esta definición es equivalente a decir que existe un conjunto parcialmente ordenado C (poset en inglés) con 2 operaciones binarias (∧ y ∨) tales que, para todo par de elementos (x e y), x∧y es el mínimo o ínfimo (meet) y x∨y es el máximo o supremo (join), pues se cumplen las 4 leyes anteriores.
Un retículo es completo cuando cualquier subconjunto tiene un ínfimo y un supremo.
Un conjunto parcialmente ordenado (con la relación x≤y) cumple las leyes
x≤x.
x≤y e y≤x implica x=y.
x≤y e y≤z implica x≤z.
Si además se cumple la propiedad que para todo par (x, y) de C, es x≤y o bien y≤x, entonces el conjunto C es totalmente ordenado.
Ejemplos:
La lógica proposicional, bajo las operaciones de conjunción y la disyunción lógicas.
El conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto dado, con las operaciones de unión e intersección de conjuntos.
Los números naturales en donde el mínimo de dos números es el m.c.d. y el máximo es el m.c.m.
Álgebra Universal
El álgebra universal −también denominada a veces “álgebra general”− generaliza a su vez el álgebra abstracta. Contempla todo tipo de operaciones internas sobre un conjunto y estudia las propiedades comunes de todas las estructuras algebraicas.
Los matemáticos, siempre en busca de abstracciones de mayor nivel, descubrieron que estructuras algebraicas aparentemente diferentes se podían unificar mediante la utilización de un pequeño número de axiomas. Así surgió el álgebra universal, que puede considerarse una meta-teoría algebraica.
Antes del álgebra universal, muchos teoremas (principalmente los teoremas de isomorfismos) se tenían que demostrar separadamente en cada una de las álgebras abstractas. Con el álgebra universal basta con demostrarlos una sola vez para todos los sistemas algebraicos.
El álgebra universal es la culminación de un movimiento en álgebra dirigido hacia la máxima abstracción y generalidad, un avance hacia lo que se puede denominar “matemática conceptual”, una matemática fundamentada en conceptos generales, libre de representaciones particulares, y cuyo fin último sería la unificación de toda la matemática.
Los axiomas del álgebra universal toman la forma de identidades (igualdades o equivalencias) o leyes ecuacionales. Por ejemplo, la ley asociativa es
(x*y)*z = x*(y*z)
En las leyes ecuacionales no se pueden utilizar cuantificadores existenciales ni relaciones (incluyendo la desigualdad). La cuantificación universal está implícita en las leyes ecuacionales. El álgebra universal solo permite operaciones (o funciones) con símbolos, la única relación permitida es la igualdad, y el lenguaje que expresa o describe estas estructuras son las ecuaciones.
Como puede haber diversas interpretaciones de las leyes del álgebra universal, el álgebra universal se puede considerar como una rama de la teoría de modelos.
Una estructura algebraica que puede ser definida mediante identidades se denomina “variedad” (manifold). Algunos autores consideran que la variedad es el único objeto del álgebra universal, mientras que otros lo consideran una estructura algebraica más. Lo que sí es cierto es que la mayoría de las estructuras (o sistemas) algebraicos de las matemáticas son variedades.
Las ideas del álgebra universal han tenido gran influencia en diversas áreas de la informática, tales como: semántica de lenguajes de programación, especificación de tipos de datos, teoría de compiladores, etc.
Definición formal
Un álgebra universal se define formalmente así:
Un conjunto C, denominado “universo del álgebra”.
Un conjunto O de funciones u operaciones definidas sobre C.
Las funciones, en general, son n-arias del tipo Cn → C, es decir, que a partir de n argumentos (elementos de C), se obtiene otro elemento de C. Una operación 0-aria (o nularia) es una constante.
Un conjunto de axiomas que regulan las operaciones definidas, en forma de leyes ecuacionales (p.e. ley asociativa, ley distributiva, etc.).
Ejemplo: Grupo
En álgebra universal solo se pueden definir las operaciones y los axiomas que rigen estas operaciones. Por ejemplo, en la definición de grupo se definen dos operaciones adicionales y la definición de grupo en álgebra universal es la siguiente:
Hay un conjunto G.
Se definen las siguientes operaciones sobre G:
Una operación interna (*) de tipo binario sobre G, es decir, entre cada par de elementos de G.
Una operación nularia e (operación identidad).
Una operación unaria sufija (') que define el elemento inverso.
Los axiomas son los siguientes:
x*(y*z) = (x*y)*z (ley asociativa)
x*e = e*x = x (ley del elemento neutro)
x*(x') = (x')*x = e (ley del elemento inverso)
Por lo tanto, se pasa del álgebra abstracta con:
1 operación binaria.
1 ley ecuacional (asociatividad), con cuantificación universal.
2 leyes cuantificadas existencialmente (elemento neutro e inverso).
al álgebra universal, con:
3 operaciones: una nularia (elemento neutro), una unaria (elemento inverso) y una binaria (operación interna).
3 leyes ecuacionales (asociatividad, elemento neutro y elemento inverso), con cuantificación universal implícita.
De esta forma, la definición de grupo en álgebra universal es más precisa porque en la definición tradicional de grupo no se dice que el elemento neutro sea único. Si existiera más de un elemento neutro habría ambigüedad. No obstante, se demuestra que en un grupo el elemento neutro es único. Lo mismo ocurre con los elementos inversos, que se demuestra que también son únicos.
Álgebra universal vs. Teoría de categorías
Dos son las ramas de la matemática que tienen como objetivo la unificación de todas las estructuras: el álgebra universal y la teoría de categorías. En ambos campos se pretende ofrecer un lenguaje común y producir resultados generales. En el álgebra universal se pone énfasis en las operaciones internas que definen la estructura. En la teoría de categorías se incide en las flechas (morfismos) entre estructuras.
El álgebra universal se puede formular en términos de la teoría de categorías. Hay dos formulaciones principales. La primera es la que describió Lawvere en su tesis doctoral de 1963. La segunda que es la que ha acabado imponiéndose es el álgebra universal definida en términos de mónadas, también llamadas “triples”, con las cuales se puede construir toda estructura algebraica. Las mónadas se definen a partir de pares adyacentes de funtores. Las mónadas surgieron de la topología algebraica, pero sin que inicialmente haya existido relación alguna con el álgebra universal.
Dada una lista de operaciones y axiomas del álgebra universal, las álgebras correspondientes y los homomorfismos entre ellas son los objetos y morfismos de una categoría.
Una Breve Historia del Álgebra
El origen del álgebra
El nombre “álgebra” se deriva de “Algebar wal Muquabalah”, que significa “restitución y reducción”, el libro del año 830 del matemático, astrónomo y geógrafo árabe Mohammed Ibn Musa Al-Khwarizmi o Al-Juarismi, en donde se recogía el sistema de numeración hindú y el concepto de cero. Finonacci tradujo esta obra al latín con el título “Algoritmi de numero Indorum” (Algoritmi sobre los números hindúes), iniciándola con las palabras “Algoritmi dicit”, de donde proviene la palabra “algoritmo” y “guarismo”. Originariamente, la palabra “algoritmo” hacía referencia al sistema decimal de numeración.
A Al-Khwarizmi se le considera el padre del álgebra. Se le ha llamado “el Euclides del álgebra” porque sistematizó esta disciplina y la convirtió en una rama independiente de las matemáticas. Su libro ha tenido una gran influencia en el pensamiento matemático universal, cuyas ideas principales son:
Un algoritmo es un procedimiento para determinar la incógnita (la cosa, al-shay, “res” en latin) a partir de lo conocido. En notación moderna, x.
Introduce las ecuaciones (basadas en la igualdad) y las operaciones algebraicas. Las ecuaciones se forman con unidades (números), incógnitas (x) y sus cuadrados (x2).
La restitución (al-jabr) es desplazar los términos de una ecuación de un lado al otro, cambiándoles el signo. La reducción (al-muqabalah) es la cancelación de términos iguales a ambos lados de una ecuación.
Hay 6 tipos de ecuaciones definidas a priori (de primer y segundo grado) con las que se construyen todas las demás.
No parte de los problemas para llegar a las ecuaciones, sino que parte de las ecuaciones primitivas y de sus combinaciones para llegar a las soluciones de los problemas.
El álgebra es una teoría (disciplina demostrativa) y una práctica (la disciplina algorítmica).
La evolución del álgebra hacia la mayor abstracción
Diofanto de Alejandría (siglo III a.C.), en su famosa obra “Aritmética” introdujo símbolos para representar la incógnita de un problema, pero este texto (como indica su título) no es un texto de álgebra, pero tuvo una gran influencia en lo que hoy se denomina “teoría de números”. Fue el primero que trabajó con números negativos, estableciendo las leyes de los signos (+×+ = +, +×− = −, −×− = +). Empleó símbolos de forma sistemática para indicar potencias, igualdades y números negativos. También descubrió la regla que equivale a la actual ley de los exponentes: xn•xm = xn+m. Por sus originales aportaciones, a Diofanto se le considera el pionero del álgebra moderna.
François Viète (1540-1603) introdujo nombres (letras del alfabeto) para las variables, incluso para los coeficientes de una ecuación. Desde entonces, algunos autores denominaban “Ars Mayor” al álgebra y “ars minor” a la aritmética.
El progreso de la matemática está muy relacionado con el simbolismo y el lenguaje en general. El álgebra avanzó por la introducción de un mejor simbolismo. Las notaciones familiares de +, −, <, >, =, √ y paréntesis ya estaban presentes en el siglo XVI, pero el cambio más significativo fue la introducción del simbolismo de Viète.
Descartes mejoró la notación de Viète. Utilizó las primeras letras del alfabeto para cantidades conocidas y las últimas letras para las desconocidas.
Leibniz se puede considerar un precursor del álgebra universal al concebir un “Calculus Ratiotinator” (o álgebra de la lógica) y una “Characteristica Geométrica” (o álgebra de la geometría). Su idea era unificar ambos conceptos en una “Characteristica Universalis” que abarcase ambas álgebras.
En 1832, Evariste Galois creó la teoría de grupos, naciendo así el algebra abstracta o moderna. Los grupos constituyeron el germen a partir de los cuales se fueron creando más estructuras algebraicas.
En 1833, William Rowan Hamilton introdujo el concepto de número complejo como un álgebra formal de pares de números reales con operaciones de suma y producto:
(a, b) + (c, d) = (a+c, b+d)
r(a, b) = (ra, rb)
(a, b)(c, d) = (ac−bd, ad+bc)
Hamilton fue el primero en tratar los números complejos como pares ordenados, el embrión de lo que finalmente fue el concepto de vector (o número multidimensional), que representaba un punto en un espacio geométrico multidimensional.
En 1843, Hamilton creó los cuaterniones, una generalización de los números complejos, con una parte real y tres imaginarias. Los cuaterniones fueron el primer ejemplo de álgebra no conmutativa. El producto de cuaternios es asociativo pero no conmutativo.
Hamilton consideraba que el álgebra está estrechamente relacionada con la física. Que la geometría es la ciencia del espacio, y el álgebra la ciencia del tiempo. Estaba convencido de que los cuaterniones eran una herramienta fundamental para la descripción de la realidad física, pues el tiempo es un escalar y las otras tres dimensiones son coordenadas de puntos en el espacio.
En 1844, Hermann Grassmann publica “Die Lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik” (más conocido simplemente como “Ausdehnungslehre”), “La Teoría de la Extensión Lineal: una nueva rama de la matemática”, una teoría de las magnitudes geométricas extensivas, en la que establece los fundamentos del álgebra lineal en el sentido moderno: cálculo vectorial, espacios vectoriales, multivectores, transformaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales.
Grassmann descubrió la relación entre geometría y álgebra. El lenguaje algebraico de Grassman es fundamentalmente geométrico, pudiéndose considerar una teoría y una práctica (cálculo) geométricas. Grassmann creó un álgebra geométrica libre de coordenadas.
El enfoque abstracto de Grassmann le permitió vislumbrar nuevas ideas, como el espacio n-dimensional (una generalización del espacio geométrico 3D), el álgebra multidimensional, la interpretación geométrica de las expresiones imaginarias, y el álgebra no conmutativa (el producto exterior de dos vectores). Grassmann definió un nuevo producto, llamado “producto exterior”, una generalización del producto vectorial en n dimensiones o multivector (un segmento de espacio n-dimensional orientado).
Grassmann reescribió su trabajo en 1861 con la exposición definitiva de su álgebra lineal. Ambas versiones fueron ignoradas por varias razones: 1) porque se apartó de la tradición matemática de su época; 2) porque no pudo formalizar su trabajo pues en su época no existía un lenguaje algebraico con el que poder expresar sus ideas, y el lenguaje que utilizó era de estilo filosófico y abstracto; 3) porque utilizaba conceptos nuevos y demasiado avanzados para su época; 4) porque creó cierta confusión al mezclar teoría y práctica; 5) por su escasa difusión.
Su álgebra lineal fue finalmente comprendida y reconocida alrededor de 1920, cuando Hermann Weyl y otros publicaron una definición formal. Según David Hestenes [1996], “Die Lineale Ausdehnungslehre merece estar junto con los Elementos de Euclides y la Geometría Analítica de Descartes en la biblioteca de las obras maestras de la matemática”.
Las llamadas “variables Grassmann” (anticonmutativas y asociativas) juegan un papel fundamental en la moderna supersimetría y en teoría de cuerdas.
En 1854, Boole publica “Investigación de las leyes del Pensamiento”, donde presenta el álgebra de la lógica.
En 1878, William Kingdon Clifford generalizó los números complejos, los cuaterniones de Hamilton y el álgebra lineal de Grassmann (incluyendo el producto exterior) mediante su propia álgebra geométrica, que hoy se denomina “álgebra de Clifford” o simplemente “álgebra geométrica”. En su obra “Elementos de Dinámica” (1878) introdujo la noción de producto geométrico, que fusiona los productos escalar (o interior) y el producto exterior como la suma de ambos: ab = a•b + a∧b, de tal manera que los producto interior y exterior se pueden expresar en función del producto geométrico.
Según David Hestenes, el álgebra de Clifford es un lenguaje universal para la física. De hecho, juega un papel esencial en física cuántica.
En 1884, James Sylvester publicó el artículo “Estudios sobre los Principios del Álgebra Universal”, en el que usó la denominación “álgebra universal” para el álgebra de matrices. Sylvester hablaba del reino del álgebra como una ciencia de la filosofía.
En 1888, Peano estableció analogías entre las álgebras de Boole y las de Grassmann.
En 1898, Alfred North Whitehead publica “Un tratado sobre Álgebra Universal”, donde presentaba un álgebra de tipo geométrico construida a partir del álgebra de Grassmann, con puntos en lugar de vectores. Whitehead reconocía a William Rowan Hamilton y August De Morgan como los creadores del concepto de álgebra universal, y a James Sylvester como el acuñador del término.
Whitehead pretendía unificar todas las estructuras algebraicas en un álgebra de tipo universal, mediante una teoría ecuacional. En particular quería unificar las estructuras algebraicas que consideraba más importantes: los cuaterniones de Hamilton, el álgebra lineal de Grassman y el álgebra de Boole. Sin embargo, no logró ningún resultado de carácter general.
El tema central de Whitehead fue la búsqueda de un nuevo lenguaje geométrico que pudiera servir para la física. Whitehead entendía las álgebras de Boole, Grassmann y Hamilton como motores para la investigación de las posibilidades del pensamiento y del razonamiento.
Whitehead intentó formalizar el concepto de espacio abstracto, cuyas propiedades y operaciones conducirían a un método general de interpretación de las diferentes álgebras. La interpretación espacial abstracta de Whitehead era de tipo cualitativo de un número de dimensiones arbitrario, en donde las regiones de espacio se correlacionan con clases de cosas. Por ejemplo, la fórmula a+a = a se interpreta como el proceso mental de combinar la misma región del espacio. Y la expresión “todo a es b” se interpreta como que la región a está incluida dentro de b.
Su descripción de espacio se basa en los principios generales de acción y movimiento dentro del espacio. Por ejemplo, una línea (región 1D) se puede concebir como un punto variable. Un plano (región 2D) es una línea variable que pasa por un punto exterior a una línea. Y así sucesivamente para cualquier número de dimensiones, para crear una variedad de puntos. Cada punto de una variedad posee “intensidad” que corresponde a una magnitud física (temperatura, densidad, potencial eléctrico, etc.). Whitehead quería formalizar con estos conceptos las leyes de Maxwell del electromagnetismo y la noción de campo en general.
Para Whitehead, la concepción del espacio abstracto es relacional entre eventos. La filosofía de procesos de Whitehead es que la clave de la realidad (el ser, la realidad metafísica), es el cambio, el dinamismo.
El álgebra de Whitehead no obtuvo resultados de interés porque su álgebra era realmente un álgebra abstracta. No obstante, Whitehead es considerado el precursor del álgebra universal.
En 1901, Josiah Williard Gibbs presentó un álgebra vectorial 3D en su obra “Análisis Vectorial”, una versión simplificada del álgebra de Grassman, que tuvo gran aceptación por su claridad, rigor matemático y simplicidad.
Emmy Noether fue la figura más influyente en el movimiento hacia la abstracción y generalidad del álgebra y que culminó en el álgebra universal. Desarrolló una serie de ideas importantes, como el concepto de “grupo con operadores” (un concepto genérico que incluye grupos, anillos y espacios lineales) y los tres teoremas fundamentales sobre isomorfismo, unos teoremas que cumplen los grupos con operadores.
Noether fue pionera en lo que se llama “matemática conceptual” (Legriffliche Mathematik). Intentó rehacer totalmente el álgebra, dando prioridad a los conceptos algebraicos generales (homomorfismos, grupos, anillos, ideales, módulos, etc.) sobre los cálculos. En particular, se liberó de las matrices y determinantes del álgebra lineal, sustituyéndolos por los conceptos de homomorfismo y módulo.
Noether no llegó a abstracciones por generalización de ejemplos concretos conocidos, sino que trabajó directamente con conceptos generales universalmente válidos. Este estilo matemático fue adoptado posteriormente por otros matemáticos, estilo que floreció en nuevos desarrollos como la teoría de categorías.
Noether desarrolló las ideas más importantes del álgebra universal sobre la base del concepto teórico de grupo y sus conceptos asociados (subgrupo, homomorfismo, isomorfismo, grupo cociente, etc.). Los conceptos modernos de anillo, ideal y módulo sobre un anillo tienen su origen en Noether. Con este enfoque conceptual, contribuyó a descubrir principios algebraicos unificadores. Noeher fue pionera en lo que hoy denominamos “álgebra conmutativa”. También concibió las ideas fundamentales que condujeron al desarrollo de la topología algebraica.
El álgebra universal experimentó su gran desarrollo 37 años después de la publicación de Whitehead. En 1935, Garrett Birkhoff publicó el artículo “Sobre las estructura de Álgebras Abstractas”, donde aparece por primera vez la definición formal de álgebra universal y las ideas principales sobre este tema. Birkhoff admitió que el término “álgebra universal” lo tomó de Whitehead porque le pareció apropiado. Según Birkhoff, la unificación del álgebra se debe a Noether. El artículo de Birkhoff se considera que marca el nacimiento formal del álgebra universal. Birkhoff es reconocido como el padre del álgebra universal.
Birkhoff destacó el tema de la analogía existente entre familias de leyes formales y familias de álgebras que satisfacen dichas leyes. Estas familias de álgebras corresponden a lo que hoy se denomina “variedad” de álgebras.
El campo del álgebra universal se enriqueció posteriormente con los desarrollos en metamatemática, teoría de categorías y teoría de modelos.
MENTAL vs. Álgebra Universal
Las limitaciones del álgebra universal
El álgebra universal no es realmente universal porque no es suficientemente general, tiene limitaciones:
No permite conjuntos ordenados porque solo admite la relación de igualdad.
Las estructuras algebraicas son relaciones estáticas y descriptivas. No se contemplan estructuras algebraicas con relaciones de tipo dinámico y operativo.
Al no estar explícita la cuantificación universal, no es posible distinguir entre entre expresiones de identidad genéricas y particulares.
No es posible expresar todas las leyes y todas las relaciones como ecuaciones. Por ejemplo, los elementos inversos en los campos (fields) se definen para los elementos diferentes de cero, pero esta limitación (condición) no se puede expresar en una ecuación.
No es un lenguaje matemático general. Es un lenguaje que se puede calificar solo de “ecuacional”. No persigue realmente la unificación de la matemática. Solo pretende proporcionar un marco general de abstracción a todas las estructuras algebraicas que permita relacionarlas y compararlas.
En definitiva, el álgebra universal clarifica ciertos aspectos de las estructuras algebraicas tradicionales, pero el álgebra universal es solo álgebra, es decir, se trata de elementos de un conjunto y operaciones entre ellos. No es un lenguaje matemático completo. Solo hay 3 semánticas implícitas: conjunto, operaciones internas n-arias y cuantificación universal. Faltan más semánticas. Para que un álgebra sea calificado de “universal” debe de contemplar la combinatoria de todo tipo de entidades matemáticas.
Características de MENTAL como álgebra universal
Las propiedades comunes a todas las estructuras algebraicas no hay que buscarlas en estructuras particulares, sino en los mecanismos que generan dichas estructuras, es decir, en los arquetipos primarios, en los grados de libertad, en la fuente de donde surgen todas las estructuras algebraicas por combinatoria.
Podemos señalar las características siguientes de MENTAL como álgebra universal:
La cuantificación universal es explícita. Se realiza mediante expresiones genéricas parametrizadas en las que incluso se pueden parametrizar los operadores.
Hay ortogonalidad total. Cualquier primitiva se puede combinar con las otras primitivas sin restricciones. Por ejemplo:
⟨( x+y+b = a )⟩/(a° = 5) // ev. ⟨( x+y+b = 5 )⟩
⟨x+y+1⟩+⟨x+y+1⟩ // ev. 2*⟨x+y+1⟩
Permite incluir condiciones, que el álgebra universal no contempla.
Las variables se definen en las expresiones de sustitución (inmediata o diferida) cuando en el lado izquierdo se especifica un nombre. Cuando, en lugar de un nombre, se utiliza una expresión, tenemos las expresiones imaginarias. Dos ejemplos arquetípicos son la definición de la unidad imaginaria (i*i = −1) y la definición de infinitésimo (ε*ε = 0).
Proporciona un enfoque unificador, no solo algebraico. La unificación se basa en las primitivas del lenguaje (sus grados de libertad) y su combinatoria. El álgebra universal no es una teoría matemática general (o paradigma general), es solo una rama de las matemáticas. En cambio, MENTAL es un lenguaje universal y un paradigma universal.
El álgebra universal utiliza axiomas, pero no dispone de un lenguaje. En MENTAL, los axiomas formales son genéricos y se expresan mediante los axiomas semánticos (las primitivas semánticas universales). MENTAL es un álgebra conceptual y una matemática conceptual: un lenguaje basado en combinación de conceptos primarios.
Si asociamos “álgebra” con nombres de variables y operaciones con ellas, MENTAL es un álgebra universal pues podemos asignar nombres a todo tipo de expresiones y operar con ellas. Los nombres son de dos tipos: de sustitución inmediata y de sustitución diferida (o de representación).
En MENTAL no solo se contemplan números imaginarios, sino expresiones imaginarias en general y expresiones imaginarias de orden superior.
MENTAL permite definir estructuras algebraicas de orden superior, virtuales, imaginarias, enlazadas, entrelazadas, etc.
MENTAL se basa en relaciones estáticas y dinámicas entre expresiones, como en la filosofía de Whitehead. Las expresiones son procesos porque se evalúan.
En MENTAL existe el concepto de espacio abstracto (el espacio donde “viven” las expresiones) y también el concepto de tiempo abstracto. Ambos conceptos van unidos, como el espacio-tiempo en física.
MENTAL trabaja directamente con conceptos generales, como en la matemática conceptual de Noether, pero los conceptos de MENTAL son de suprema simplicidad, abstracción y generalidad. Noether trabajó con estructuras algebraicas. MENTAL se basa en arquetipos primarios.
En definitiva, MENTAL está en un nivel de abstracción superior al álgebra universal y a la teoría de categorías, hasta el límite de la máxima abstracción conceptual, que son los arquetipos primarios, los arquetipos de la conciencia. Con MENTAL se culmina el proceso de abstracción de la matemática.
Adenda
Más sobre los cuaterniones
Los cuaterniones son un tipo de número hipercomplejo; son de dimensión 4. Los octoniones son hipercomplejos de dimensión 8 y los sedeniones son de dimensión 16.
Los cuaterniones se pueden escribir como un número complejo de orden 2:
a + bi + cj + dk = a + bi + cj + dij = (a + bi) + (c + di)j (pues k = ij)
El conjugado de un cuaternión q es q' = a − bi − cj − dk.
Se cumple: qq' = a2 + b2 + c2 + d2 = |q|, siendo |q| el módulo de q.
El inverso multiplicativo de un cuaternión es q−1 = q'/(qq').
Un cuaternión q se compone de una parte real o escalar S(q) y otra parte imaginaria V(q):
S(q) = a V(q) = bi + cj + dk
Hamiltón llamó a la parte imaginaria “vector”. Así que los vectores tienen su origen en los cuaterniones.
Espacios vectoriales
En general, el álgebra lineal estudia los espacios vectoriales, un conjunto basado en dos operaciones: 1) suma de vectores; 2) producto de un escalar por un vector. Estudia también transformaciones lineales, que son funciones entre espacios vectoriales que satisfacen las condiciones de linealidad:
T(u+v) = T(u) + T(v)
T(r•u) = r•T(u)
Los vectores no son necesariamente una secuencia de números. Pueden ser elementos de un conjunto cualquiera.
Los espacios vectoriales pueden ser de dimensión finita o infinita. Los espacios vectoriales más conocidos son: vectores en Rn, las matrices de m×n y los polinomios de una variable.
Producto vectorial, producto exterior y producto geométrico
El origen del cálculo vectorial se remonta a los números complejos y a los cuaterniones de Hamilton, con las definiciones de producto escalar y producto vectorial de dos vectores en el espacio 3D.
Por ejemplo, si expresamos los dos vectores, v1 y v2, como combinación lineal de 3 vectores unitarios perpendiculares entre sí (e1, e2 y e3), tenemos:
v1 = a1e1 + a2e2 + a3e3 v2 = b1e1 + b2e2 + b3e3
El producto escalar es: ei•ej = 0 si i≠j y ei•ei = 1. Es la proyección de un vector unitario sobre el otro.
El producto vectorial (o producto cruz) es: e1×e2 = e3, e2×e3 = e1, e3×e1 = e2,
con ei×ej = −ej×ei y ei×ei = 0. Es un vector perpendicular a los dos vectores unitarios y de módulo 1 (la superficie que forman).
Por lo tanto,
Grassmann definió el producto exterior como generalización del producto vectorial 3D para cualquier dimensión, y que se suele denotar como a∧b ( o producto cuña). El producto exterior es asociativo, mientras que el producto vectorial (a∧b) no lo es. El producto exterior es anticonmutativo, como el producto vectorial.
El producto exterior de dos vectores a∧b se denomina bivector o 2-vector y representa la superficie orientada del paralelogramo formado por los dos vectores. El producto exterior de 3 vectores a∧b∧c es el volumen orientado formado por los tres vectores. Y así sucesivamente para cualquier dimensión n.
El cálculo vectorial, tal y como lo conocemos hoy, es el introducido por Clifford con su álgebra geométrica, válido para cualquier número de dimensiones. El producto geométrico de Clifford generaliza el producto escalar y el producto vectorial de dos vectores.
Construcciones básicas del álgebra universal
Suponiendo que se ha fijado un tipo Ω, hay 3 construcciones básicas en el álgebra universal:
Homomorfismo entre dos álgebras A y B (de aridad n).
Es una función h:A→B tal que a cada operación fA de A le corresponde otra operación fB de B:
h(fA(x1, ..., xn)) = fB(h(x1, ..., xn))
Subálgebra.
Una subálgebra de A es un subconjunto que es cerrado respecto a todas las operaciones de A.
Producto.
Un producto de un conjunto de estructuras algebraicas es el producto cartesiano de los conjuntos con las operaciones correspondientes coordinadas.
Grupo con operadores
Un grupo de operadores es un grupo G provisto de un dominio Δ de operadores distributivo respecto a la ley interna de G. Es decir, si α es un operador y x e y son elementos de G y “*” es la operación interna, se verifica α(x*y) = αx*αy. De modo abreviado se dice que G es un Δ-grupo. Cuando Δ solo incluye al operador identidad, tenemos un grupo normal.
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